Calculadora de Sistema Linear 2x2 (Regra de Cramer)

Como calcular

Resolve o sistema linear de duas equações e duas incógnitas a₁x+b₁y=c₁ e a₂x+b₂y=c₂ pela regra de Cramer. Calcula o determinante principal D = a₁b₂−a₂b₁ e os auxiliares Dx = c₁b₂−c₂b₁ e Dy = a₁c₂−a₂c₁, e então x = Dx/D e y = Dy/D. Quando D é zero o sistema não tem solução única (é impossível ou indeterminado) e os valores de x e y saem zerados.

Fórmula $\begin{matrix} D & = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \\ D_{x} & = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} \\ D_{y} & = a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1} \\ x & = \frac{D_{x}}{D} \\ y & = \frac{D_{y}}{D} \end{matrix}$

Escreva as duas equações na forma a·x + b·y = c.
Calcule o determinante principal D = a₁·b₂ − a₂·b₁.
Calcule Dx trocando a coluna de x pelos termos c: Dx = c₁·b₂ − c₂·b₁.
Calcule Dy trocando a coluna de y pelos termos c: Dy = a₁·c₂ − a₂·c₁.
Divida: x = Dx/D e y = Dy/D (se D = 0, não há solução única).

Exemplo

Resolver 2x + 3y = 8 e x − y = −1 (a₁=2, b₁=3, c₁=8, a₂=1, b₂=−1, c₂=−1).

D = 2·(−1) − 1·3 = −2 − 3 = −5.
Dx = 8·(−1) − (−1)·3 = −8 + 3 = −5.
Dy = 2·(−1) − 1·8 = −2 − 8 = −10.
x = Dx/D = −5 / −5 = 1 e y = Dy/D = −10 / −5 = 2.

Solução única x = 1 e y = 2.

Erros comuns

Trocar a ordem dos índices em D: é a₁·b₂ menos a₂·b₁, na diagonal cruzada.
Esquecer de mover tudo para a forma ax+by=c antes de ler os coeficientes.
Concluir que x=y=0 é a solução quando D=0 — na verdade significa que não há solução única.

Glossário

Determinante: Número associado a uma matriz quadrada; para 2x2 é o produto da diagonal principal menos o da secundária.
Sistema impossível: Sistema sem nenhuma solução, em que as retas das equações são paralelas.
Sistema indeterminado: Sistema com infinitas soluções, em que as duas equações descrevem a mesma reta.

Tabela de referência

Valor de x por a₁ (x na 1ª equação) — considerando b₁ (y na 1ª equação): 3; c₁ (termo da 1ª equação): 8; a₂ (x na 2ª equação): 1; b₂ (y na 2ª equação): -1; c₂ (termo da 2ª equação): -1.

a₁ (x na 1ª equação)	Valor de x
1	1,2500
2	1,0000
5	0,6250
10	0,3846
20	0,2174
50	0,0943
100	0,0485

Perguntas frequentes

O que é a regra de Cramer?

É um método para resolver sistemas lineares usando determinantes. Para um sistema 2x2, você calcula o determinante principal D com os coeficientes das incógnitas e dois determinantes auxiliares Dx e Dy substituindo a coluna de x (ou de y) pelos termos independentes. A solução é x = Dx/D e y = Dy/D.

Por que x e y deram zero?

Quando o determinante principal D é igual a zero, o sistema não tem solução única: ou é impossível (nenhuma solução) ou indeterminado (infinitas soluções). Como a regra de Cramer divide por D, a calculadora devolve zero em x e y nesse caso. Verifique os determinantes Dx e Dy: se ambos também são zero, o sistema é indeterminado; se algum não é, é impossível.

Qual a ordem de montar as equações?

Escreva cada equação na forma ax+by=c. Informe a₁, b₁ e c₁ da primeira equação e a₂, b₂ e c₂ da segunda. Se uma incógnita não aparecer em uma equação, o coeficiente dela é zero.

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