Calculadora de Progressão Geométrica (PG)

Como calcular

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão constante q. A calculadora aplica o termo geral aₙ = a₁·q^(n−1), a soma finita Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) e a soma infinita S∞ = a₁/(1 − q), que só converge quando |q| < 1. Informe o primeiro termo (a₁), a razão (q) e a quantidade de termos (n).

Fórmula $$\begin{array}{cc}{a}_n& =a_1\cdot q^{n-1}\\ S_n& ={\displaystyle \frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}}\\ S_{\infty }& ={\displaystyle \frac{a_1}{1-q}}\text{se }|q|<1\end{array}$$

1. Informe o primeiro termo a₁ da sequência.
2. Informe a razão q — a constante que multiplica cada termo.
3. Informe n, a posição do termo desejado e a quantidade de termos da soma finita.
4. A calculadora aplica aₙ = a₁·q^(n − 1) para o termo geral.
5. E Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) para a soma finita; a soma infinita aparece só quando |q| < 1.

Exemplo

PG com primeiro termo 96 e razão 1/2, querendo o 5º termo, a soma dos 5 primeiros e a soma infinita.

1. Termo geral: a₅ = 96·(1/2)^(5 − 1) = 96·1/16 = 6.
2. Soma finita: S₅ = 96·(1 − (1/2)⁵)/(1 − 1/2) = 96·(31/32)/(1/2) = 186.
3. Soma infinita: como |q| = 0,5 < 1, a série converge: S∞ = 96/(1 − 1/2) = 192.

O 5º termo é 6, a soma dos 5 primeiros é 186 e a soma infinita é 192.

Erros comuns

• Esperar uma soma infinita com razão ≥ 1: a série só converge quando |q| < 1; fora disso o resultado é 0 (diverge).
• Usar qⁿ em vez de q^(n − 1) no termo geral: o primeiro termo está na posição 1, então há (n − 1) multiplicações.
• Esquecer o caso q = 1 ao somar manualmente: aí a soma é a₁·n, não a fórmula geral.

Glossário

Razão (q)

O fator constante pelo qual cada termo de uma PG é multiplicado.

Soma infinita (S∞)

O limite da soma de todos os infinitos termos de uma PG, finito apenas quando |q| < 1.