Calculadora da Lei dos Cossenos
Encontre o terceiro lado a partir de dois lados e o ângulo entre eles, ou um ângulo a partir dos três lados de um triângulo.
- Área do triângulo
- —
Aplica a lei dos cossenos em qualquer triângulo, em dois modos. No modo 'achar lado' (LAL), você informa dois lados e o ângulo entre eles e obtém o terceiro lado por c = √(a²+b²−2ab·cos C). No modo 'achar ângulo' (LLL), você informa os três lados e obtém o ângulo oposto ao terceiro lado por C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab)). A calculadora também devolve a área do triângulo (½·a·b·sen C). Para entradas que não formam um triângulo válido (um lado ≥ a soma dos outros dois), o cosseno é limitado ao intervalo [−1, 1] e o resultado sai degenerado (ângulo de 0° ou 180° e área próxima de zero) — confira a desigualdade triangular antes de usar o valor.
Como calcular
Fórmula
- Escolha o modo: achar um lado (LAL) ou achar um ângulo (LLL).
- No modo achar lado, informe os lados a e b e o ângulo C entre eles, em graus.
- No modo achar ângulo, informe os três lados a, b e c.
- Para o lado: c = √(a²+b²−2ab·cos C). Para o ângulo: C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab)).
- A área sai por ½·a·b·sen C com o ângulo entre a e b.
Exemplo
Triângulo com a=5, b=7 e ângulo C=60° entre eles — achar o lado c.
- c² = 5² + 7² − 2·5·7·cos 60° = 25 + 49 − 70·0,5.
- c² = 74 − 35 = 39.
- c = √39 ≈ 6,2450.
- Área = ½·5·7·sen 60° = 17,5 × 0,8660 ≈ 15,1554.
Lado c ≈ 6,2450, com área de aproximadamente 15,1554.
Erros comuns
- Informar o ângulo em radianos no modo achar lado: o campo espera graus.
- Trocar a ordem dos lados no modo achar ângulo: o ângulo encontrado é sempre o oposto ao lado c (terceiro campo).
- Informar três lados que não formam triângulo (um maior que a soma dos outros dois): a calculadora não rejeita a entrada — ela limita o cosseno e devolve um resultado degenerado (0° ou 180°). Verifique a desigualdade triangular.
Glossário
- LAL (lado-ângulo-lado)
- Configuração em que se conhecem dois lados e o ângulo entre eles; basta para determinar o terceiro lado.
- LLL (lado-lado-lado)
- Configuração em que se conhecem os três lados; basta para determinar todos os ângulos do triângulo.
Tabela de referência
Lado c ou ângulo C (graus)porLado a — considerando O que calcular: Achar lado (2 lados + ângulo entre eles); Lado b: 10 ; Ângulo C (graus) ou lado c: 10 un.
| Lado a | Lado c ou ângulo C (graus) |
|---|---|
| 1 | 9,0169 |
| 2 | 8,0379 |
| 5 | 5,1497 |
| 10 | 1,7431 |
| 20 | 10,2994 |
| 50 | 40,1895 |
| 100 | 90,1686 |
Perguntas frequentes
Quando uso a lei dos cossenos em vez do teorema de Pitágoras?
O teorema de Pitágoras só vale em triângulos retângulos (com um ângulo de 90°). A lei dos cossenos é a generalização: funciona em qualquer triângulo. Aliás, se o ângulo C for 90°, cos 90° = 0 e a fórmula c² = a²+b²−2ab·cos C vira exatamente c² = a²+b², que é Pitágoras.
Qual ângulo a calculadora encontra no modo 'achar ângulo'?
Ela encontra o ângulo C, que é o ângulo oposto ao lado c (o terceiro lado que você informou). Para achar outro ângulo, basta reorganizar quais comprimentos você coloca em a, b e c — o ângulo de saída é sempre o oposto ao lado informado no terceiro campo.
Como a área é calculada?
Pela fórmula área = ½·a·b·sen C, usando os dois lados a e b e o ângulo C entre eles. No modo 'achar lado' o ângulo C é o que você informou; no modo 'achar ângulo' a área usa o ângulo C que a própria calculadora encontrou a partir dos três lados.